太極圖的數學解析

作者：王華傑，男，1964年11月生，碩士研究生，副教授，主要從事固體力學、機械動力學、現代設計方法領域的研究和教學。

【摘要】採用非線性運動方程建立太極圖的數學模型，通過運動學分析嘗試用現代科學方法解釋太極圖中的圓心、魚眼和圓周的蘊義，並對中國傳統宇宙學說和現代物理學的宇宙學說進行比較。

【關鍵字】太極圖　數學模型　非線性方程　宇宙學

　　“太極”一詞出自《易．係詞》：“易有太極，是生兩儀。”，“太極”意指天地未分的混沌狀態，兩儀指陰陽二氣，即事物運動相對面的雙方。太極圖由一個圓圈和圓內相互環抱的黑、白魚形圖形所組成，其中黑魚帶有白眼，白魚帶有黑眼；黑、白魚形分別代表構成萬物的陰、陽二氣或二性。太極圖大致出現在宋、元時期，一般認為其根源于《周易參同契》，是坎、離二卦的變形組合，意在闡述宇宙萬物的構成和變化規律以及道家內丹的修煉運化情景。中國傳統陰陽學說可以簡述為：一切事物都存在運動向對面的雙方，即陰陽二氣；陰陽之間存在著相互對立、相互統一、相互依存、相互滲透及相互轉化的辯證關係；事物的發展過程總是表現為陰陽雙方的對立和統一。太極圖的最大特點就在於它把抽象的陰陽學說濃縮到一個簡單而又十分形象的幾何圖形中。

　　關於陰陽太極圖與現代宇宙學和人體科學之間的關係的討論，從文獻中只見到理論或哲學範疇的探討，很少見到用數理方法進行研究的工作，也未見到能夠較準確地描述太極圖的陰陽運動規律的數學模型。因而總有一種眾說紛紜、似是而非的感覺。

　　歷史上大多依據《太極圖說》，從陰陽二氣辯證統一的角度對太極圖進行解說。但由於缺乏實證，容易導致混淆或爭議。近年來較多文獻借用現代科學的研究成果對陰陽學說及太極圖進行比較研究，取得了很大進展；國內很多氣功流派也提出了各自的繪製太極圖的幾何方法，以解釋陰陽運動規律，但這些圖形基本上都屬於圓弧拼接圖形，無法直接從幾何圖形上解釋太極圖中所包含的陰陽辯證關係。

　　本文作者嘗試採用非線性運動方程建立太極圖的數學模型，並對其進行運動學分析，力圖探索一條用數理方法來解析太極圖的陰陽辯證關係以及道家內丹修煉原理的新途徑。

1.太極圖的數學模型

觀察下列非線性運動方程：

（1）

（2）

其中（r,θ）是動點M在極坐標系中的位置座標，a和b均是常數。方程（1）有兩個常數解：

　　　　　　　　　　　　（3）

Fig1.相平面圖　　　　　　　　　　　　　Fig2.太極圖

當時，方程（1）滿足初始條件的解為：

　　　　　　　（4）

假定ａ和ｂ均大於零，則對於初值的所有可能情況，無論或均有：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5）

再對方程（1）求導：

　　　　　　　　　　　　　（6）

可以看出在處,均有。

現選取兩個點、，假定初值、足夠小但不等於零，沿順時針方向從運動到，沿順時針方向從運動到。當a和b選取為適當大於零的數值時，在同一坐標系中作出這兩個點的運動軌線，即得到Fig.1所示的相平面圖。將Fig.1中的一個區域填黑，另一區域保持為白色，並分別在以上兩個區域中處繪製兩個與周圍顏色相反的魚眼，即得到Fig.2。可以明顯看出Fig.2就是“太極圖”，而且其形狀比用圓弧線、正弦曲線分割圓內區域得到的“太極圖”更接近於道家流傳下來的太極圖。

2.太極圖數學模型的運動學解析

（1）靜止狀態的不穩定性

　　現假設有兩個點質量和的運動規律滿足于方程（4），在初始時刻位於圓心處並保持靜止。和在圓心處的靜止狀態是不穩定的，只要內部或外界幹擾使和的位置稍有偏離圓心，它們就會沿著Fig.1中的軌跡開始運動。

(2)運動的對稱性

　　進一步假設和是由一個點質量分裂開的兩部分，它們的初始相位角相差，分別沿著Fig.2中不同的軌跡運動，從而形成對稱的運動軌跡。

(3)加速運動階段

　　當時,。說明和的運動速度是遞增的，具有“爆炸”的特徵。

(4)減速運動階段

　　當時，。說明和的運動速度是遞減的，具有“引力”特徵。

(5)圓周運動的統一性與穩定性

　　當時，和的運動軌跡趨近於的同一個圓周線，並且，此時當和受到幹擾而偏離圓周線後，無論還是，它們會在幹擾消失後重新回到圓周線的運動軌跡上，具有很強的穩定性。

(6)內外一致性

　　如和初始時刻位於圓周線以外，它們的運動軌跡同樣將趨近於圓周線。

（7）反向運動的特徵

　　如果方程（4）中的常數，這和的運動特徵與上述特徵完全相反，特別是和在圓周線附近的運動將失去穩定性。當和向圓周外運動時，其加速度越來越大，具有“膨脹”特徵；當和向圓周內運動時，後加速度也越來越大，具有“塌縮”特徵。

3．太極圖數學模型的應用和假說

　　從上述太極圖數學模型的運動學解析中可以看出，該模型蘊含著豐富的哲學與自然科學意義。以下嘗試將這一模型應用於對宇宙的起源、宇宙結構模型、氣功修煉法則等方面的分析與假說。

（1）宇宙及星球的起源

　　現代物理學認為宇宙起源於遠古時期在某一個奇點的一次大爆炸，是一個從無到有的過程，這一假說對應於Fig.1中時從圓心到圓周線的運動過程；中國古代認為宇宙起源於混沌狀態，由物質凝聚而產生各個星球，這一假說對應於Fig.1中時從圓周線外向圓周線的運動過程；兩種假說在太極圖數學模型中都存在，這說明對宇宙起源的假說不同，只是因為觀察者所處的角度存在差異，太極圖也只能解釋局部宇宙的起源問題。

（2）宇宙結構模型

　　現代物理學家根據廣義相對論理論建立了三種宇宙結構模型，即膨脹宇宙模型、塌縮宇宙模型和定常宇宙模型。從太極圖數學模型中可以看出，膨脹宇宙模型對應於時從圓周線向圓周外的運動過程，塌縮宇宙模型對應於從圓周線向圓心運動的過程，定常宇宙模型對應於時在圓周線附近的運動。三種不同的宇宙結構模型都得到太極圖數學模型的支援，但都只是片面地反映了宇宙運動的某一側面。

（3）氣功修煉法則

　　僅從狹義的氣功修煉來看，修煉的目的是為了在人體中聚集更多的真氣。人體內的真氣有兩種來源，一種是通過采氣，吸收外界真氣，對應於時從圓周線外向圓周線的運動過程；另一種是激發人體內本自具足的先天潛能，使其充滿全身，對應於Fig.1中時從圓心到圓周線的運動過程；當真氣充滿全身，陰陽二氣調和均勻，達到渾圓一氣的階段，也就對應於時在圓周線附近的運動，即所謂的“歸一”境界。在修煉過程中的功力的增長與消退，同個人的心性、行為密切相關，分別對應於和兩種不同的運動模式。

4．結束語

　　易學和太極學說博大精深，本文僅從利用非線性運動方程建立太極圖數學模型的角度，嘗試對太極圖蘊含的有關宇宙起源、宇宙結構模型和氣功修煉法則進行初步探索。文中的討論表明，本文所建立的太極圖數學模型能夠較準確地揭示太極圖所蘊含的宇宙學和人體科學原理，為易學和太極學說的研究與應用提供了一個新的途徑。

參考文獻：

1、自興道　陰陽太極圖與自然構造的對稱性　思想戰線2000年02期

2、劉文英　精神太極圖──精神系統的一個新模型　哲學動態1999年04期

3、章偉文　淺談道教的陰陽魚太極圖　中國道教1999年05期

4、程捍東　太極圖中的函數變化規律與氣功練習時間的奧秘　湖北體育科技1998年01期

5、焦蔚芳　太極圖與DNA　世界科學1997年11期

6、劉大為，董勇　太極圖作為一種可用機構初探　機械研究與應用1995年02期

7、李仕　玻爾“並協原理”與《八卦太極圖》周易研究1994年04期

8、李以渝　太極圖意蘊與現代科學的平行與啟迪　科學技術與辯證法1994年05期